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前言

博主参与过大大小小十次数学建模比赛，也获得了不少建模奖项。关于一些小批量样本数据去做猜测或者是评估其规则性的话，比较合适的模型一般都是挑选灰色猜测模型。该模型解说性强而且易于了解，建模手法也比较简单。在一些不确认是否存在相关标量或者是存在位置特征的时候，用灰色猜测模型尤为显着，牵扯太多变量时候能够以量曾量减的方法显现其改变规则，是建模比较好用的算法和思路。可是首先咱们要明白该模型的运用场景以及优缺点才干更好的解说建模的作用。故为接下来的美赛，我将把一些常用建模的模型和代码补上。

一、模型理论

灰色猜测模型是经过少数的、不彻底的信息，树立数学模型做出猜测的一种猜测方法。是依据客观事物的过去和现在的开展规则，借助于科学的方法对未来的开展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假定和判别。

咱们称信息彻底未确认的体系为黑色体系，称信息彻底确认的体系为白色体系，灰色体系便是这介于这之间，一部分信息是已知的，另一部分信息是不知道的，体系内各因素间有不确认的关系。

不知道大家知不知道白盒测验和黑盒测验，咱们能够这样通俗的了解，黑色体系就好比一个黑色的盒子你看不到里边装着几个小球，从里边拿出几个小球或者是章鱼都是不知道数。而白色体系就像是透明的盒子，你能很清楚的看到里边是什么你想要拿什么出来拿多少个。而这个灰色体系介于他们之间，盒子是灰色的，只能含糊的看到一些小球，看不到几个或者是有除了小球以外的其他东西。

灰色猜测经过辨别体系因素之间开展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找体系改变的规则，生成有较强规则性的数据序列，然后树立相应的微分方程模型，然后猜测事物未来开展趋势的状况。其用等时距观测到的反映猜测目标特征的一系列数量值结构灰色猜测模型，猜测未来某一时间的特征量，或到达某一特征量的时间。

特点

• 用灰色数学处理不确认量，使之量化。
• 充分使用已知信息寻求体系的运动规则。
• 灰色体系理论能处理贫信息体系。

二、模型场景

1.猜测种类

• 灰色时间序列猜测；即用观察到的反映猜测目标特征的时间序列来结构灰色猜测模型，猜测未来某一时间的特征量，或到达某一特征量的时间。
• 畸变猜测；即经过灰色模型猜测异常值出现的时间，猜测异常值什么时候出现在特定时区内。
• 体系猜测；经过对体系行为特征目标树立一组彼此关联的灰色猜测模型，猜测体系中众多变量间的彼此和谐关系的改变。
• 拓扑猜测；将原始数据作曲线，在曲线上按定值寻找该定值产生的一切时点，并以该定值为结构构成时点序列，然后树立模型猜测该定值所产生的时点。

2.适用条件

灰色猜测模型可针对数量非常少（比方仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有用猜测，其使用微分方程来充分发掘数据的实质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于查验，也不必考虑分布规则或改变趋势等。但灰色猜测模型一般只适用于短期猜测，只合适指数增加的猜测，比方人口数量，航班数量，用水量猜测，工业产值猜测等。

三、建模流程

整体建模流程能够参阅：

1.级比校验

首先咱们要保证该数据适用于GM(1,1)模型，那么就要对已知数据进行校验是否可用。 假定原始数据:

核算数列的级比:

假如一切的级比都落在内，则数列能够作为模型GM(1,1)的数据进行灰色猜测。假如没经过，对数列做改变处理，使其落入范围内。即取恰当的常数c ，做平移交换：

再进行级比查验，直至经过或者更换模型。

2.数据累加和微分方程结构

对原始数据列做一次累加(AGO)生成数列:

对应的微分方程为：(a为开展系数，u为灰作用量）

3.系数求解

接下来就到了最要害的一部，想要求解上述微分方程：

就必须解出系数a和b，让微分方程的解与实在的已知数据最接近。 函数表达式的参数a和u不知道，而变量t和x^(1)的数值已知，这种问题就要用最小二乘法，经过最小化差错的平方和求得最佳的参数a和b。

1、数据是离散的而不是连续的，所以：

写作

2.依据累加生成序列公式可知：

3.由1和2可得到

4.移项得：

5、式子左边是已知数据，右边便是含有不知道数的函数，此时就可用最小二乘法求出参数a和u

数据矩阵B：

数据向量Y：

其中z(1)为加权平均值：

核算系数u(最小二乘法)：

对前面的微分方程求解可得：

由上面三式可得：(最终成果)

4.残差查验与级比偏差查验

残差查验

假如<0.2,，则可以为到达一般要求；假如<0.1，则以为到达较高的要求。

级比偏差查验

假如，则可以为到达一般要求；假如，则以为到达较高的要求。

四、Python实例实现

咱们经过得到的周数拥堵车辆数据进行测验：

import numpy as np
import pandas as pd
from decimal import *
import matplotlib.pyplot as plt
def Grade_ratio_test(X0):
    lambds = [X0[i - 1] / X0[i] for i in range(1, len(X0))]
    X_min = np.e ** (-2 / (len(X0) + 1))
    X_max = np.e ** (2 / (len(X0) + 1))
    for lambd in lambds:
        if lambd < X_min or lambd > X_max:
            print('该数据未经过级比查验')
            return False
    print('该数据经过级比查验')
    return True
def model_train(X0_train):
    #AGO生成序列X1
    X1 = X0_train.cumsum()
    Z= (np.array([-0.5 * (X1[k - 1] + X1[k]) for k in range(1, len(X1))])).reshape(len(X1) - 1, 1)
    # 数据矩阵A、B
    A = (X0_train[1:]).reshape(len(Z), 1)
    B = np.hstack((Z, np.ones(len(Z)).reshape(len(Z), 1)))
    # 求灰参数
    a, u = np.linalg.inv(np.matmul(B.T, B)).dot(B.T).dot(A)
    u = Decimal(u[0])
    a = Decimal(a[0])
    print("灰参数a：", a, "，灰参数u：", u)
    return u,a
def model_predict(u,a,k,X0):
    predict_function =lambda k: (Decimal(X0[0]) - u / a) * np.exp(-a * k) + u / a 
    X1_hat = [float(predict_function(k)) for k in range(k)]
    X0_hat = np.diff(X1_hat)
    X0_hat = np.hstack((X1_hat[0], X0_hat))
    return X0_hat
'''
依据后验差等到小差错概率判别猜测成果
:param X0_hat: 猜测成果
:return:
'''
def result_evaluate(X0_hat,X0):
    S1 = np.std(X0, ddof=1)  # 原始数据样本标准差
    S2 = np.std(X0 - X0_hat, ddof=1)  # 残差数据样本标准差
    C = S2 / S1  # 后验差比
    Pe = np.mean(X0 - X0_hat)
    temp = np.abs((X0 - X0_hat - Pe)) < 0.6745 * S1    
    p = np.count_nonzero(temp) / len(X0)  # 核算小差错概率
    print("原数据样本标准差：", S1)
    print("残差样本标准差：", S2)
    print("后验差比：", C)
    print("小差错概率p：", p)
if __name__ == '__main__':
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 步骤一（替换sans-serif字体）
    plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 步骤二（解决坐标轴负数的负号显示问题）
        # 原始数据X
    data = pd.read_excel('./siwei_day_traffic.xlsx')
    X=data[data['week_day']=='周五'].jam_num[:5].astype(float).values
    print(X)
    # 练习集
    X_train = X[:int(len(X) * 0.7)]
    # 测验集
    X_test = X[int(len(X) * 0.7):]
    Grade_ratio_test(X_train)  # 判别模型可行性
    a,u=model_train(X_train)  # 练习
    Y_pred = model_predict(a,u,len(X),X)  # 猜测
    Y_train_pred = Y_pred[:len(X_train)]
    Y_test_pred = Y_pred[len(X_train):]
    score_test = result_evaluate(Y_test_pred, X_test)  # 评估
    # 可视化
    plt.grid()
    plt.plot(np.arange(len(X_train)), X_train, '->')
    plt.plot(np.arange(len(X_train)), Y_train_pred, '-o')
    plt.legend(['负荷实践值', '灰色猜测模型猜测值'])
    plt.title('练习集')
    plt.show()
    plt.grid()
    plt.plot(np.arange(len(X_test)), X_test, '->')
    plt.plot(np.arange(len(X_test)), Y_test_pred, '-o')
    plt.legend(['负荷实践值', '灰色猜测模型猜测值'])
    plt.title('测验集')
    plt.show()

总结

模型优点：数据少且无显着规则时可用，使用微分方程发掘数据实质规则。

模型缺点：灰色猜测只合适短期猜测、指数增加的猜测。