标题描述

这是 LeetCode 上的 95. 不同的二叉查找树 II ，难度为 中等。

Tag : 「树」、「二叉查找树」、「BST」、「DFS」、「递归」、「爆搜」

给你一个整数 n，请你生成并回来一切由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的不同 二叉查找树 。能够按 恣意次序 回来答案。

示例 1：

输入：n = 3
输出：[[1,null,2,null,3],[1,null,3,2],[2,1,3],[3,1,null,null,2],[3,2,null,1]]

示例 2：

输入：n = 1
输出：[[1]]

提示：

  • 1<=n<=81 <= n <= 8

回溯算法

标题要咱们求一切所能结构的二叉查找树的具体计划，而给定 nn 个节点所能构成的二叉查找树的个数为 卡特兰数。

其他计划数同为卡特兰数的还包含：凸多边形三角划分、n 对括号正确匹配数目 …

回到本题，依据二叉查找查找的特性，若某个子树的根节点为 root，那么 root 的左子树恣意节点值均比 root.val 要小，root 的右子树恣意节点值均比 root.val 要大。

因此，假设咱们运用 [l,r][l, r] 接连段来结构二叉查找树，并且挑选了节点 t 作为二叉查找树的根节点时，那么运用 [l,t−1][l, t – 1] 结构出来的二叉查找树均可作为根节点 tt 的左子树；同理，运用 [t+1,r][t + 1, r] 结构出来的二叉查找树均可作为根节点 t 的右子树。

也就是说，咱们能够规划递归函数 List<TreeNode> dfs(int l, int r)，意义为运用接连段 [l,r][l, r] 进行二叉查找树结构，并回来相应调集。

最终答案为 dfs(1, n)，开始咱们能够枚举 [1,n][1, n] 范围内的的每个数 t 作为根节点，并递归 dfs(l, t - 1) 和 dfs(t + 1, r) 获取左右子树的调集 left 和 right，结合「乘法原理」，枚举恣意左子树和恣意右子树，即可得到 t 作为根节点的二叉查找树计划集，枚举一切 t 后即可得到一切二叉查找树的总集。

注意：当咱们运用乘法原理，来结构以 t 为根节点的二叉查找树时，其 left 或 right 某一边可能为空集，但此刻咱们仍要将非空的一边子树进行挂载。
为了保证两层新循环的逻辑会被执行，对于空集咱们不能运用 null 来代指，而要运用 [null] 来代指。

Java 代码：

class Solution {
    public List<TreeNode> generateTrees(int n) {
        return dfs(1, n);
    }
    List<TreeNode> dfs(int l, int r) {
        if (l > r) return new ArrayList<>(){{add(null);}};
        List<TreeNode> ans = new ArrayList<>();
        for (int i = l; i <= r; i++) {
            for (TreeNode x : dfs(l, i - 1)) {
                for (TreeNode y : dfs(i + 1, r)) {
                    TreeNode root = new TreeNode(i);
                    root.left = x; root.right = y;
                    ans.add(root);
                }
            }
        }
        return ans;
    }
}

TypeScript 代码：

function generateTrees(n: number): Array<TreeNode | null> {
    function dfs(l: number, r: number): Array<TreeNode | null> {
        if (l > r) return [null]
        const ans = new Array<TreeNode>()
        for (let i = l; i <= r; i++) {
            for (const x of dfs(l, i - 1)) {
                for (const y of dfs(i + 1, r)) {
                    const root = new TreeNode(i)
                    root.left = x; root.right = y
                    ans.push(root)
                }
            }
        }
        return ans
    }
    return dfs(1, n)
}

Python 代码：

class Solution:
    def generateTrees(self, n: int) -> List[Optional[TreeNode]]:
        def dfs(l, r):
            if l > r:
                return [None]
            ans = []
            for i in range(l, r + 1):
                for x in dfs(l, i - 1):
                    for y in dfs(i + 1, r):
                        root = TreeNode(i)
                        root.left, root.right = x, y
                        ans.append(root)
            return ans
        return dfs(1, n)
  • 时刻复杂度：卡特兰数
  • 空间复杂度：卡特兰数

最后

这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.95 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于开始日 LeetCode 上共有 1916 道标题，部分是有锁题，咱们将先把一切不带锁的标题刷完。

在这个系列文章里边，除了解说解题思路以外，还会尽可能给出最为简练的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了便利各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的库房：github.com/SharingSour… 。

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