通过4种经典应用，带你熟悉回溯算法-六虎

本文分享自华为云社区《浅显易懂回溯算法》，作者：嵌入式视觉。

一，怎样了解回溯算法

深度优先查找算法使用的便是回溯算法思维，但它除了用来辅导像深度优先查找这种经典的算法设计之外，还能够用在许多实际的软件开发场景中，比如正则表达式匹配、编译原理中的语法分析等。

除此之外，许多经典的数学问题都能够用回溯算法处理，比如数独、八皇后、0-1 背包、图的着色、旅行商问题、全摆放等等。

回溯的处理思维，有点相似枚举查找。暴力枚举一切的解，找到满意希望的解。为了有规则地枚举一切或许的解，防止遗失和重复，咱们把问题求解的进程分为多个阶段。每个阶段，咱们都会面临一个岔路口，咱们先随意选一条路走，当发现这条路走不通的时分（不符合希望的解），就回退到上一个岔路口，另选一种走法持续走。

回溯算法的模板代码总结如下：

void backtracking(参数) {
if (终止条件) {
存放成果;
return;
}
for (挑选：本层调集中元素（树中节点孩子的数量便是调集的巨细）) {
处理节点;
backtracking(途径，挑选列表); // 递归
回溯，吊销处理成果
}
}

二，回溯算法的经典应用

2.1，八皇后问题

有一个 8×8 的棋盘，希望往里放 8 个棋子（皇后），每个棋子地点的行、列、对角线都不能有另一个棋子。这儿的“对角线”指的是一切的对角线，不只是平分整个棋盘的那两条对角线。

处理思路：能够把这个问题划分成 8 个阶段，顺次将 8 个棋子放到第一行、第二行、第三行……第八行，每一行都有 8 中放法（8 列）。在放置的进程中，咱们不停地查看当时放法，是否满意要求。假如满意，则跳到下一行持续放置棋子；假如不满意，那就再换一种放法，持续尝试。这儿用的是回溯思维，而回溯算法也十分适合用递归代码完成。

// N 皇后问题 leetcode 51 https://leetcode-cn.com/problems/n-queens/
class Solution {
private:
vector<vector<string>> result;
void backtracking(int n, int row, vector<string>& chessboard){
if(row == n) {
result.push_back(chessboard);
return;
}
for(int column=0; column < n; column++){ // 每一行都有8中放法
if (isOK(row, column, n, chessboard)){
chessboard[row][column] = 'Q'; // 放置皇后
backtracking(n, row+1, chessboard);
chessboard[row][column] = '.'; // 回溯，吊销处理成果
}
}
}
// 判别 row 行 column 列放置皇后是否合适
bool isOK(int row, int column, int n, vector<string>& chessboard){
int leftup = column - 1; int rightup = column + 1; // 左上角和右上角
for(int i = row-1; i>=0; i--){ // 逐行网上调查每一行
// 判别第 i 行的 column 列是否有棋子
if(chessboard[i][column] == 'Q') {
return false;
}
// 调查左上对角线：判别第i行leftup列是否有棋子
if(leftup >=0 ){
if(chessboard[i][leftup] == 'Q') return false;
}
// 调查左上对角线：判别第i行rightup列是否有棋子
if(rightup < n){
if(chessboard[i][rightup] == 'Q') return false;
}
--leftup;
++rightup;
}
return true;
}
public:
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
result.clear();
std::vector<std::string> chessboard(n, std::string(n, '.'));
backtracking(n, 0, chessboard);
return result;
}
};

2.2，0-1 背包问题

0-1 背包是十分经典的算法问题。0-1 背包问题有许多变体，这儿介绍一种比较基础的。咱们有一个背包，背包总的承载分量是 W kg。现在咱们有 n 个物品，每个物品的分量不等，而且不可分割，即关于每个物品来说，都有两种挑选，装进背包或许不装进背包，关于 n 个物品来说，总的装法就有 2^n 种。

咱们现在希望挑选几件物品，装载到背包中。在不超越背包所能装载分量 W 的前提下，怎样让背包中物品的总分量最大？

0-1 背包问题为什么不能用贪心算法求解？

由于不可分割，所以无法判别当时状况下，哪种物品对希望值贡献更大，即不存在当时最优的挑选，所以就无法运用贪心算法了。

0-1 背包问题的高效解法是动态规划算法，但也可用没那么高效的回溯办法求解。咱们能够把物品顺次摆放，整个问题就分解为了 n 个阶段，每个阶段对应一个物品怎样挑选。先对第一个物品进行处理，挑选装进去或许不装进去，然后再递归地处理剩余的物品。

int maxW = 0;
// cw 表明当时装进背包的物品的分量和，w 表明背包承载的分量
// items 表明物体的分量数组，n 表明总的物品个数， i 表明调查到第 i 个物品
int f(int i, int cw, vector<int> items, int n, int w){
// 递归结束条件：cw == w 表明背包已经装满，i==n 表明调查完一切物品
if(cw == w || i == n){
if(cw > maxW) maxW = cw;
return;
}
f(i+1, cw, items, n, w); // 不装
// 剪枝进程，当装入的物品分量大于背包的分量，就不持续执行
if(cw+items[i] <= w){
f(i+1, cw+items[i], items, n, w); // 装
}
}

要了解 0-1 背包问题回溯解法的关键在于：关于一个物品而言，只要两种状况，不装入背包和装入背包两种状况。对应的便是 f(i+1, cw, items, n, w) 和 f(i+1, cw + items[i], items, n, w) 两个函数。

2.3，通配符匹配

假定正则表达式中只包括 “*” 和 “?” 这两种通配符，而且对这两个通配符的语义稍微做些改变，其中，“*” 匹配恣意多个（大于等于 0 个）恣意字符，“?” 匹配零个或许一个恣意字符。根据以上布景假定，怎样用回溯算法，判别一个给定的文本，是否和给定的正则表达式匹配？

假如遇到特别字符的时分，咱们就有多种处理方式了，也便是所谓的岔路口，比如 “*” 有多种匹配计划，能够匹配恣意个文本串中的字符，咱们就先随意的挑选一种匹配计划，然后持续调查剩余的字符。假如半途发现无法持续匹配下去了，咱们就回到这个岔路口，重新挑选一种匹配计划，然后再持续匹配剩余的字符。

// 暴力递归 --> 回忆化 --> DP --> 状态压缩DP；
class Solution{
private:
bool matched = false;
void backtracking(int ti, int pj, string text, string pattern){
if (matched) return;
if(pj == pattern.size()){ // 正则表达式到末尾了
if(ti == text.size())
matched = true;
return;
}
// *匹配恣意个字符
if(pattern[pj] == '*'){
for(int k=0; k< text.size()-ti;k++)
backtracking(ti+k, pj+1, text, pattern);
}
// ?匹配0个或许1个字符
else if(pattern[pj] == '?'){
backtracking(ti, pj+1, text, pattern);
backtracking(ti+1, pj+1, text, pattern);
}
// 纯字符匹配才行
else if(ti < pattern.size() && pattern[pj] == text[ti]) {
backtracking(ti+1, pj+1, text, pattern);
}
}
public:
bool isMatch(string text, string pattern){
matched = false;
backtracking(0, 0, text, pattern);
return matched;
}
};

2.4，leetcode 正则表达式匹配

在 leetcode 也有变形题（leetcode10:正则表达式匹配）如下：

其他变形题：leetcode44-通配符匹配

给你一个字符串 s 和一个字符规则 p，请你来完成一个支撑 ‘.’ 和 ‘*’ 的正则表达式匹配。

‘.’ 匹配恣意单个字符
‘*’ 匹配零个或多个前面的那一个元素

所谓匹配，是要包括整个字符串 s 的，而不是部分字符串。

办法一：回溯（分阶段分状况评论，暴力查找和剪枝）

首先，考虑特俗字符只要 ‘.’ 的状况。这种状况会很简略：咱们只需要从左到右顺次判别 s[i] 和 p[i] 是否匹配。

def isMatch(self,s:str, p:str) -> bool:
"""字符串 s 和字符规则 p"""
if not p: return not s # 边界条件
first_match = s and p[0] in {s[0],'.'} # 比较第一个字符是否匹配
return first_match and self.isMatch(s[1:], p[1:])

最后，考虑有 ’*’ 的状况，它会出现在 p[1] 的位置，匹配进程中会出现两种状况：

星号代表匹配 0 个前面的元素。如 ‘##’ 和 a*##，这时咱们直接疏忽 p 的 a*，比较 ## 和 ##，也便是持续递归比较 s 和 p[i + 2:]；
星号代表匹配一个或多个前面的元素。如 aaab 和 a*b，这时咱们将疏忽 s 的第一个元素，比较 aab 和 a*b，也便是持续递归比较 s[i + 1:] 和 p。（这儿默认要查看 s[0] 和 p[0] 是否相等）。

Python3 代码如下：

class Solution:
def isMatch(self, s: str, p: str) -> bool:
if not p: return not s
first_match = bool(s and p[0] in {s[0],'.'}) # 比较第一个字符是否匹配
if len(p) >=2 and p[1] == '*':
# * 匹配前面一个字符 0 次或许屡次
return self.isMatch(s, p[2:]) or first_match and self.isMatch(s[1:], p)
else:
return first_match and self.isMatch(s[1:], p[1:])

C++ 代码如下：

// letcode10 正则表达式匹配
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;
class Solution{
public:
bool isMatch(string s, string p){
// 假如正则串 p 为空字符串，s 也为空，则匹配成功
if(p.empty()) return (s.empty());
// 判别 s 和 p 的首字符是否匹配，留意要先判别 s 不为空
bool match = (!s.empty()) && (s[0] == p[0] || p[0] == '.');
// 假如p的第一个元素的下一个元素是 *，则分别对两种状况进行判别
if(p.size() >= 2 && p[1] == '*'){
// * 匹配前面一个字符 0 次或许屡次
return isMatch(s, p.substr(2)) || (match && isMatch(s.substr(1), p));
}
else{ // 单个匹配
return match && isMatch(s.substr(1), p.substr(1));
}
}
};

直接递归时刻复杂度太大（指数级），能够把之前的递归进程记录下来，用空间换时刻。回忆化递归的 C++ 代码如下：

class Solution{
public:
bool isMatch(string s, string p){
unordered_map<int, bool> memo;
return backtracking(s, 0, p, 0, memo);
}
bool backtracking(string s, int i, string p, int j, unordered_map<int, bool> & memo){
// # 查看 s[i] 是否能被匹配，留意要先判别 s 不为空
bool match = (i < s.size()) && (s[i] == p[j] || p[j] == '.');
if(j >= p.size()) return i >= s.size(); // p 和 s 一起遍历完
int key = i * (p.size() + 1) + j; // 哈希键
if (memo.find(key) != memo.end()) // 这个状态之前经历过，能够回来成果
return memo[key];
else if (i == s.size() && j == p.size()) // 假如s和p一起用完，匹配成功
return memo[key] = true;
else if((p.size()-j) >= 2 && p[j+1] == '*'){
// * 匹配前面一个字符 0 次或许屡次
if(backtracking(s, i, p, j+2, memo) || match && backtracking(s, i+1, p, j, memo))
return memo[key] = true;
}
else { // 单个匹配
if(match && backtracking(s, i+1, p, j+1, memo))
return memo[key] = true;
}
return memo[key] = false; // 没辙了，匹配失败
}
};

办法二：动态规划法

[ ] 算法思路
[ ] 代码

三，总结

回溯算法的思维十分简略，大部分状况下，都是用来处理广义的查找问题，也便是，从一组或许的解中，挑选出一个满意要求的解。回溯算法十分适合用递归来完成，在完成的进程中，剪枝操作是进步回溯功率的一种技巧。使用剪枝，咱们并不需要穷举查找一切的状况，然后进步查找功率。

虽然回溯算法的原理十分简略，但是却能够处理许多问题，比如咱们最初提到的深度优先查找、八皇后、0-1 背包问题、图的着色、旅行商问题、数独、全摆放、正则表达式匹配等等。

回溯算法能处理的问题，根本用动态规划也能处理，其时刻复杂度更低，空间复杂度更高，用空间换时刻。

参考资料

leetcode 8皇后问题题解
回溯算法：从电影《蝴蝶效应》中学习回溯算法的中心思维
腐烂的橘子题解-回溯和动态规划

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通过4种经典应用，带你熟悉回溯算法

一，怎样了解回溯算法

二，回溯算法的经典应用

2.1，八皇后问题

2.2，0-1 背包问题

2.3，通配符匹配

2.4，leetcode 正则表达式匹配

三，总结

参考资料

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通过4种经典应用，带你熟悉回溯算法

一，怎样了解回溯算法

二，回溯算法的经典应用

2.1，八皇后问题

2.2，0-1 背包问题

2.3，通配符匹配

2.4，leetcode 正则表达式匹配

三，总结

参考资料

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