By Long Luo

任何一款科学核算器上都能够核算三角函数，三角函数运用于日子工作中的方方面面，但核算机是怎么核算三角函数值的呢？

三角函数本质上是直角三角形的3条边的份额关系，核算并没有很直观，那么核算机是怎么核算三角函数值的呢？

在微积分中咱们学习过 泰勒公式 ，咱们知道能够运用泰勒展开式来对某个值求得其近似值，例如：

sin⁡∠18∘=5−14≈0.3090169943\sin \angle 18^{\circ} = \frac{\sqrt {5} – 1}{4} \approx 0.3090169943

运用泰勒公式，取前 44 项：

sin⁡x≈x−x33!+x55!−x77!\sin x \approx x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \frac{x^7}{7!}

代入可得：

sin⁡∠18∘=sin⁡10=10−16(10)3+1120(10)5−15040(10)7≈0.30903399538\sin \angle 18^{\circ} = \sin \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10} – \frac{1}{6} (\frac{\pi}{10})^3 + \frac{1}{120} (\frac{\pi}{10})^5 – \frac{1}{5040} (\frac{\pi}{10})^7 \approx 0.30903399538

可见取前 44 项时精度现已在 10−510^{-5} 之下，关于许多场合精度现已足够高了。

在没有了解 CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computer) Algorithm 1 算法之前，我一向以为核算器是运用泰勒公式去求解，最近才了解到原来在核算机中，CORDIC 算法远比泰勒公式高效。

下面咱们就来了解下泰勒公式的不足之处和 CORDIC 算法是怎样做的。

泰勒公式的缺点

上一节咱们运用泰勒公式去核算三角函数值时，需求做许多次乘法运算，而核算器中乘法运算是很昂贵的，其缺点如下所示：

  1. 展开过小则会导致展开精度不够，展开过大则会导致核算量过大；
  2. 幂运算需求运用乘法器，存在许多重复核算；
  3. 需求许多变量来存储中心值。

在之前的文章 矩阵乘法的 Strassen 算法 ，便是经过削减乘法，多做加法，从而大大下降了运算量，那么咱们能够用相同的思想来优化运算吗？

当然能够，让咱们请出今日的主角：CORDIC 算法。

解析 CORDIC 算法

咱们知道单位圆上一点 PP ，其坐标为：(cos⁡,sin⁡)(\cos \theta , \sin \theta ) ，如下图所示：

CORDIC算法：一种高效计算三角函数值的方法

如果咱们接收一个旋转向量 MinM_{in} 逆时针旋转 \theta ，将点 P(xin,yin)P(x_{in} , y_{in}) 旋转到 P′(xR,yR)P'(x_{R} , y_{R}) , 如下图所示：

CORDIC算法：一种高效计算三角函数值的方法

很容易得到如下公式：

xR=xincos()−yinsin()x_R = x_{in} cos(\theta) – y_{in} sin(\theta)
yR=xinsin()+yincos()y_R = x_{in} sin(\theta) + y_{in} cos(\theta)

实践上由 复数运算 ，咱们知道复数乘法便是幅角相加，模长相乘。咱们能够将上式写成下列矩阵运算形式：

[xRyR]=[cos⁡()−sin⁡()sin⁡()cos⁡()][xinyin]\begin{aligned} \begin{bmatrix} x_{R} \\ y_{R} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos (\theta) & -\sin (\theta) \\ \sin (\theta) & \cos (\theta ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \end{bmatrix} \end{aligned}

但上式运算时，仅仅对向量 vin=[xinyin]v_{in} = {\begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \end{bmatrix}} 进行了线性变换，乘以一个旋转向量 MinM_{in} ，得到了旋转后的成果：向量 vR=[xRyR]v_{R} = {\begin{bmatrix} x_{R} \\ y_{R} \end{bmatrix}} 。

但是上式依然需求 44 次乘法和 22 次加减法操作， 复杂度没有任何下降，那怎样办呢？

当当…当！

经过上述剖析，咱们现已知道能够运用有限次旋转操作来避免复杂的乘法操作，咱们修改矩阵运算公式，提取 cos⁡()\cos (\theta ) ，则公式能够修改为：

[xRyR]=cos()[1−tan()tan()1][xinyin]\begin{bmatrix} x_{R} \\ y_{R} \end{bmatrix} = cos(\theta) \begin{bmatrix} 1 & -tan(\theta) \\ tan(\theta) & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \end{bmatrix}

如果咱们挑选合适的视点值 i\theta_i，使得

tan⁡(i)=2−i,i=0,1,…,n\tan (\theta_{i}) = 2^{-i} , i=0, 1,\dots , n

这样和 tan⁡(i)\tan (\theta_{i}) 乘法操作就变成了移位操作，咱们知道核算机中移位操作是非常快的，就能够大大加快核算速度了。

但这里依然有 33 个问题需求处理：

  1. 关于恣意视点 ，能够经过满足条件的视点累加来得到在数学上相同的成果吗？
  2. 每次旋转得到的成果依然需求乘以 cos⁡()\cos(\theta ) ，这部分的核算成本怎么？怎么核算？
  3. 由于每次旋转视点 =arctan⁡(2−i)\theta = \arctan(2^{-i}) ，朝着方针视点进行旋转时，可能会出现没有超越方针视点的情况，也会存在超越方针视点的情况，这种情况怎么处理呢？

CORDIC算法：一种高效计算三角函数值的方法

关于第一个问题，答案是否定的。能够从数学上证明只要 ∠45∘\angle 45^{\circ} 的倍数角才能够得到完全一致的成果。但是在工程运用中，咱们只需求满足一定精度即可，能够增加迭代次数无限迫临原始视点，如下所示进步 nn 值以无限迫临原始视点。

d=∑i=0ni,∀tan⁡(i)=2−i\theta_{d} = \sum_{i=0}^{n} \theta_{i} , \forall \tan(\theta_{i}) = 2^{-i}

关于第二个问题，咱们先来个例子，以 57.535∘57.535^{\circ} 为例来看看求解进程：

57.535∘=45∘+26.565∘−14.03∘57.535^{\circ} = 45^{\circ}+26.565^{\circ}-14.03^{\circ}

那么第一次旋转：

[x0y0]=cos(45∘)[1−111][xinyin]\begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix} = cos(45^{\circ}) \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \end{bmatrix}

第二次旋转：

[x1y1]=cos(26.565∘)[1−2−12−11][x0y0]\begin{bmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{bmatrix} = cos(26.565^{\circ}) \begin{bmatrix} 1 & -2^{-1} \\ 2^{-1} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix}

第三次旋转：

[x2y2]=cos(−14.03∘)[12−2−2−21][x1y1]\begin{bmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{bmatrix} = cos(-14.03^{\circ}) \begin{bmatrix} 1 & 2^{-2} \\ -2^{-2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{bmatrix}

归纳可得：

[x2y2]=cos(45∘)cos(26.565∘)cos(−14.03∘)[1−111][1−2−12−11][12−2−2−21][xinyin]\begin{bmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{bmatrix} = cos(45^{\circ}) cos(26.565^{\circ}) cos(-14.03^{\circ}) \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2^{-1} \\ 2^{-1} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2^{-2} \\ -2^{-2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \end{bmatrix}

由于 tan⁡(i)=2−i\tan (\theta_{i}) = 2^{-i} ，由三角公式能够核算出：

cos⁡(i)=11+tan⁡2(i)=11+2−2i\cos(\theta_{i}) = \frac {1}{\sqrt {1 + \tan ^{2}(\theta_{i})}} = \frac {1}{\sqrt {1 + 2^{-2i}}}

令 Ki=cos⁡(i)K_i = \cos(\theta_{i}) ，则当进行 nn 次迭代之后：

K(n)=∏i=0n−1Ki=∏i=0n−111+2−2i K(n) = \prod _{i=0}^{n-1}K_{i} = \prod _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {1 + 2^{-2i}}}}

当 i\theta_{i} 越来越小时， cos⁡\cos \theta 也越来越迫临 11 ，当迭代次数 n→∞n \to \infty ， K(n)K(n) 极限存在，求解可得：

K=lim⁡n→∞K(n)≈0.6072529350088812561694K = \lim _{n \to \infty }K(n) \approx 0.6072529350088812561694

由 KK 咱们实践上能够得到最终的向量 vRv_R 的模长极限为：

A=1K=lim⁡n→∞∏i=0n−11+2−2i≈1.64676025812107A = {\frac {1}{K}} = \lim _{n \to \infty } \prod _{i=0}^{n – 1}{\sqrt {1 + 2^{-2i}}} \approx 1.64676025812107

实践受骗迭代次数为 66 时，能够核算出缩放份额 KK ，就现已准确到 0.60720.6072 了，如下所示：

K≈cos(45∘)cos(26.565∘)⋯cos(0.895∘)=0.6072K \approx cos(45^{\circ}) cos(26.565^{\circ}) \times \dots \times cos(0.895^{\circ}) = 0.6072

实践上，恣意视点只要迭代次数超越 66 ，咱们能够直接运用 K=0.6072K = 0.6072 这个值。

关于第三个问题，略微有点复杂，咱们在下一节持续解说！

视点累加

上一节留传的问题是迭代旋转视点时，旋转视点纷歧定会落在方针视点内，咱们需求引进一个视点差错，用来衡量旋转视点和方针角之间间隔，如下所示：

error=d−∑i=0ni\theta_{error} = \theta_d – \sum_{i=0}^{n} \theta_{i}

当 error>0\theta_{error} > 0 时，咱们应该逆时针旋转，而 error<0\theta_{error} < 0 ，则顺时针旋转。根据精度需求，当 ∣error∣≤\left | \theta_{error} \right | \le \epsilon 即可退出迭代。

同时咱们修改之前的公式，引进 i∈{+1,−1}\sigma_{i} \in \left \{ +1, -1 \right \} ，于是能够得到最终公式：

x[i+1]=x[i]−i2−iy[i]x \left [ i+1 \right ] = x \left [ i \right ] – \sigma_{i} 2^{-i} y \left [ i \right ]
y[i+1]=y[i]+i2−ix[i]y \left [ i+1 \right ] = y \left [ i \right ] + \sigma_{i} 2^{-i} x \left [ i \right ]
z[i+1]=z[i]−itan−1(2−i)z \left [ i+1 \right ] = z \left [ i \right ] – \sigma_{i} tan^{-1} ( 2^{-i} )

举个例子

上面讲了这么多，来个实例吧，练习巩固下知识，看看自己是否真的懂了？

核算 sin⁡70∘\sin 70^{\circ} 和 cos⁡70∘\cos 70^{\circ} 的值。

从 xin=1,yin=0x_{in}=1, y_{in} = 0 开端，迭代 66 次成果如下：

第 ii 次迭代 i\sigma_{i} x[i]x \left[ i \right ] y[i]y \left[ i \right ] z[i]z \left[ i \right ]
– – 11 00 70∘70^{\circ}
00 11 11 11 25∘25^{\circ}
11 11 0.50.5 1.51.5 −1.5651∘-1.5651^{\circ}
22 −1-1 0.8750.875 1.3751.375 12.4711∘12.4711^{\circ}
33 11 0.70310.7031 1.48441.4844 5.3461∘5.3461^{\circ}
44 11 0.61030.6103 1.52831.5283 1.7698∘1.7698^{\circ}
55 11 0.56250.5625 1.54741.5474 −0.0201∘-0.0201^{\circ}
66 −1-1 0.58670.5867 1.53861.5386 0.8751∘0.8751^{\circ}

迭代到第 66 次时，视点差错现已小于 1∘1^{\circ} 了， 经过表格可知：

xR=0.60720.5867=0.3562x_{R} = 0.6072 \times 0.5867 = 0.3562
yR=0.60721.5386=0.9342y_{R} = 0.6072 \times 1.5386 = 0.9342

经过核算器可知，cos⁡(70∘)=0.34202\cos(70^{\circ}) = 0.34202 ，sin⁡(70∘)=0.93969\sin(70^{\circ}) = 0.93969 ，差错现已在 1100\frac {1}{100} 之下了，实践运用中咱们会迭代 1616 次，差错会非常小。

在线 CORDIC 算法Demo

经过上面剖析，咱们现已知道了 CORDIC 算法的原理，下面就开端编程吧！

用 JavaScript 写了一个在线互动版别，传送门 → ：

  1. 能够调整不同迭代次数，和系统库函数 Math.cos\textit{Math.cos} ，Math.sin\textit{Math.sin} 进行比较：

CORDIC算法：一种高效计算三角函数值的方法

  1. 能够检查每次迭代的成果，把握 Cordic 算法迭代原理：

CORDIC算法：一种高效计算三角函数值的方法

CORDIC 算法的长处

CORDIC 算法相比其他算法的长处，体现在以下几个方面：

  1. 简化运算：CORDIC 算法首要运用位移、加法和减法等简单的运算，避免了复杂的乘法操作，从而进步了核算速度；
  2. 并行核算：CORDIC 算法的迭代操作是相互独立的，能够进行并行核算，运用现代核算机的多核优势，进一步提高核算功率；
  3. 硬件优化：CORDIC 算法适用于硬件实现，能够经过专用硬件电路（如FPGA）进行加快，极大地进步核算速度；
  4. 低存储需求：CORDIC 算法只需存储一小组预先核算好的旋转视点，节省了存储空间；
  5. 迭代操控：经过操控迭代次数，能够平衡核算精度和核算速度，根据需求进行调整。

总结

CORDIC 算法是一种高效核算三角函数值的办法。相比传统的泰勒展开式，它具有简单高效、低存储需求和迭代操控等优势。在需求核算三角函数值的运用中，CORDIC 算法更快速、更节省资源。

博客网站原文链接：www.longluo.me/blog/2023/0…

参考文献

Footnotes

  1. CORDIC ↩