标题描述
这是 LeetCode 上的 456. 132 形式 ，难度为 中等。
Tag : 「单调栈」
给你一个整数数组 nums，数组中共有 n 个整数。132 形式的子序列 由三个整数 nums[i]、nums[j] 和 nums[k] 组成，并一起满意：i<j<ki < j < k 和 nums[i]<nums[k]<nums[j]nums[i] < nums[k] < nums[j] 。
假设 nums 中存在 132 形式的子序列 ，回来 true；否则，回来 false。
进阶：很简略想到时刻复杂度为 O(n2)O(n^2) 的解决方案，你能够规划一个时刻复杂度为 O(nlogn)O(n \log{n}) 或O(n) O(n) 的解决方案吗？
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,4]
输出：false
解说：序列中不存在 132 形式的子序列。
示例 2：
输入：nums = [3,1,4,2]
输出：true
解说：序列中有 1 个 132 形式的子序列： [1, 4, 2] 。
示例 3：
输入：nums = [-1,3,2,0]
输出：true
解说：序列中有 3 个 132 形式的的子序列：[-1, 3, 2]、[-1, 3, 0] 和 [-1, 2, 0] 。
提示：
- n=nums.lengthn = nums.length
- 1<=n<=1041 <= n <= 10^4
- −109<=nums[i]<=109-10^9 <= nums[i] <= 10^9
基本思路
朴素的做法是分别对三个数进行枚举，这样的做法是 O(n3)O(n^3) 的，数据规模是 10410^4，稳稳超时。
事实上，这样的数据规模乃至不足以咱们枚举其间两个数，然后优化找第三个数的 O(n2)O(n^2) 做法。
这时候依据数据规模会联想到树状数组，运用树状数组的复杂度是 O(nlogn)O(n\log{n}) 的，能够过。但是代码量会较多一点，还需求理解离散化等前置知识。题解也不太好写。
因而，咱们能够从 132 的大小特性去剖析，假设在确认一个数之后，如何快速找到另外两个数（咱们运用 ijk 来代指 132 结构）：
-
枚举
i：因为i是 132 结构中最小的数，那么相当于咱们要从 i 后面，找到一个对数(j,k)，使得(j,k)都满意比i大，一起j和k之间存在j > k的关系。因为咱们的遍历是单向的，因而咱们能够将问题转化为找k，首先k需求比i大，一起在[i, k]之间存在比k大的数即可。 -
枚举
j：因为j是 132 结构里最大的数，因而咱们需求在j的右边中比j小的「最大」的数，在j的左面找比j小的「最小」的数。这很简略联想到单调栈，但是朴素的单调栈是协助咱们找到左面或者右边「最近」的数，无法直接满意咱们「最大」和「最小」的要求，需求引入额定逻辑。 -
枚举
k：因为k是 132 结构中的中心值，这里的剖析逻辑和「枚举 i」类似，因为遍历是单向的，咱们需求找到k左面的i，一起保证[i,k]之间存在比i和k大的数字。
以上三种剖析方法都是可行的，但「枚举 i」的做法是最简略的。
因为假设存在 (j,k) 满意要求的话，咱们只需求找到一个最大的满意条件的 k，通过与 i 的比较即可。
也许你还不理解是什么意思。不要紧，咱们一边证明一边说。
进程 & 证明
先说处理进程吧，咱们从后往前做，保护一个「单调递减」的栈，一起运用 k 记载一切出栈元素的最大值（k 代表满意 132 结构中的 2）。
那么当咱们遍历到 i，只需满意发现满意 nums[i] < k，阐明咱们找到了契合条件的 i j k。
举个，关于样例数据 [3, 1, 4, 2]，咱们知道满意 132 结构的子序列是 [1, 4, 2]，其处理逻辑是（遍历从后往前）：
- 枚举到 2：栈内元素为 [2]，
k= INF - 枚举到 4：不满意「单调递减」，2 出栈更新
k，4 入栈。栈内元素为 [4]，k= 2 - 枚举到 1：满意
nums[i] < k，阐明关于i而言，后面有一个比其大的元素（满意i < k的条件），一起这个k的来历又是因为保护「单调递减」而弹出导致被更新的（满意i和k之间，有比k要大的元素）。因而咱们找到了满意 132 结构的组合。
这样做的实质是：咱们通过保护「单调递减」来保证现已找到了有用的 (j,k)。换句话说假设 k 有值的话，那么必定是因为有 j > k，导致的有值。也就是 132 结构中，咱们找到了 32，剩下的 i （也就是 132 结构中的 1）则是通过遍历进程中与 k 的比较来找到。这样做的复杂度是 O(n)O(n) 的，比树状数组还要快。
从进程上剖析，是没有问题的。
搞清楚了处理进程，证明也变得非常简略。
咱们不失一般性的考虑任意数组 nums，假设实在存在 ijk 契合 132 的结构（这里的 ijk 特指一切满意 132 结构要求的组合中 k 最大的那个组合）。
因为咱们的比较逻辑只针对 i 和 k，而 i 是从后往前的处理的，必定会被遍历到；漏掉 ijk 的情况只能是：在遍历到 i 的时候，咱们没有将 k 更新到变量中：
- 这时候变量的值要比实在情况下的
k要小，阐明k还在栈中，而遍历位置现已到达了i，阐明j和k一起在栈中，与「单调递减」的性质抵触。 - 这时候变量的值要比实在情况下的
k要大，阐明在k出栈之后，有比k更大的数值出栈了（一起必定有比变量更大的值在栈中），这时候要么与咱们假设ijk是k最大的组合抵触；要么与咱们遍历到的位置为i抵触。
综上，因为「单调递减」的性质，咱们至少能找到「遍历进程中」一切契合条件的 ijk 中 k 最大的那个组合。
Java 代码：
class Solution {
public boolean find132pattern(int[] nums) {
int n = nums.length;
Deque<Integer> d = new ArrayDeque<>();
int k = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
if (nums[i] < k) return true;
while (!d.isEmpty() && d.peekLast() < nums[i]) {
// 事实上，k 的变化也具有单调性，直接运用 k = pollLast() 也是能够的
k = Math.max(k, d.pollLast());
}
d.addLast(nums[i]);
}
return false;
}
}
Python3 代码：
class Solution:
def find132pattern(self, nums: List[int]) -> bool:
stack = []
k = -(10 ** 9 + 7)
for i in range(len(nums) - 1,-1,-1):
if nums[i] < k:
return True
while stack and stack[-1] < nums[i]:
k = max(k,stack.pop())
stack.append(nums[i])
return False
C++ 代码：
class Solution {
public:
bool find132pattern(vector<int>& nums) {
stack<int> st;
int n = nums.size(), k = INT_MIN;
for(int i = n - 1; i >= 0; i--){
if(nums[i] < k) return true;
while(!st.empty() and st.top() < nums[i]) {
k = max(k,st.top()); st.pop();
}
st.push(nums[i]);
}
return false;
}
};
- 时刻复杂度：O(n)O(n)
- 空间复杂度：O(n)O(n)
最后
这是咱们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.456 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道标题，部分是有锁题，咱们将先把一切不带锁的标题刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简练的代码。假设触及通解还会相应的代码模板。
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