一文理解贝塞尔曲线

贝塞尔曲线的来源

贝塞尔曲线最早是由贝塞尔在1962年提出来的，意图是获取汽车的外形。贝塞尔曲线看上去十分杂乱，其实想法十分简略，（如下图1所示）便是先用折线先制作出大致的轮廓，然后用曲线来迫临。

图1

这个方式是不是有点熟悉，刚看到的时候，我就想到了核算圆的面积时，咱们会使用多边形来迫临圆的曲线（如图2所示）；贝塞尔曲线刚好相反，它是使用曲线来迫临多边形，刚好反着来了。

图2

结构贝塞尔曲线

思路虽然简略，但是怎样把这个曲线画出来，或者说怎样用一个函数来表明这条曲线就很困难了。不过这个不需要咱们关怀，有大佬已经处理了。咱们直接来看看贝塞尔曲线的定义式，如下图3：

图3

先别急着划走，这个公式不用记，因为它太杂乱而且核算量大，因此在工程开发中咱们不会用它。一般在工程中，咱们使用德卡斯特里奥算法（deCasteljau)来结构贝塞尔曲线。听起来更杂乱了，别急让咱们举个。下面以2次贝塞尔曲线为例。

图4

图5

看图4，德卡斯特里奥算法（deCasteljau) 的意义便是满意P0Q0P0P1=P1Q1P1P2=Q0BQ0Q1=t \frac{P_0Q_0}{P_0P_1} = \frac{P_1Q_1}{P_1P_2} = \frac{Q_0B}{Q_0Q_1} = tP0​P1​P0​Q0​​=P1​P2​P1​Q1​​=Q0​Q1​Q0​B​=t的情况下，跟着 t 从 0 到 1 逐渐变大，B点通过的点组成的曲线便是咱们需要的贝塞尔曲线了。图5是咱们常见的动图，之前看的时候一直很懵逼，现在了解了贝塞尔曲线是怎样画出来的，是不是清楚多了。

更高阶的贝塞尔曲线制作方式和上面的一样，仅仅多了几条边，制作的动图如下：

3次贝塞尔曲线

4次贝塞尔曲线

5次贝塞尔曲线

贝塞尔曲线的函数表明

看到这里，咱们已经对贝塞尔曲线有了一个大概的了解。但是仍是一个要害的问题，咱们怎样画出贝塞尔曲线呢？或者说有什么函数能够让咱们画出这个曲线吗？这个其实更简略，咱们高中就学过了。仍是以二次贝塞尔曲线为例，它的参数方程如下，其中P0、P1、P2代表控制点。

咱们假定三个控制点的坐标是P0(-1,0)、P1(0,1)、P2(1,0)，把值带入上面的参数方程，就能够得到如下结果：

最终化解可得到咱们熟悉的 y = f(x) 函数：y=−12×2+12：y = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} ：y=−21​x2+21​ 效果图如下图。能够看出二次贝塞尔曲线实际上便是咱们高中学的抛物线。仅有不同的是，咱们高中求的抛物线，会通过 P0、P1、P2三个点，而贝塞尔曲线只会通过 P0、P1两个端点。

相似的：

一次贝塞尔曲线便是一次函数：y=a0x+a1：y = a_0x + a_1：y=a0​x+a1​ ；

三次贝塞尔曲线便是三次函数：y=a0x3+a1x2+a2x+a3y = a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3y=a0​x3+a1​x2+a2​x+a3​

四次贝塞尔曲线便是四次函数：y=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4y = a_0x^4 + a_1x^3 + a_2x^2 + a_3x + a_4y=a0​x4+a1​x3+a2​x2+a3​x+a4​

n次贝塞尔曲线便是n次函数：y=a0xn+a1xn−1+…+an y = a_0x^n + a_1x^{n-1} + … + a_{n}y=a0​xn+a1​xn−1+…+an​

总结

贝塞尔曲线实际上并不杂乱，咱们能够简略的把n次贝塞尔曲线当作对应的n次函数的曲线。因为贝塞尔曲线的这个特点，也造成了贝塞尔曲线的最大缺陷————不能局部修改，即改动其中一个参数时会改动整条曲线。后面为了处理贝塞尔曲线的这个问题，提出了B样条曲线，下篇文章咱们就介绍B样条曲线。

最终这篇文章为了方便读者的了解，省略了许多贝塞尔曲线特性的介绍，如果对贝塞尔曲线感兴趣，能够在B站上看看它的完好课程。

参阅

• # 核算机图形学bezier曲线曲面B样条曲线曲面
• 贝塞尔曲线维基百科