2003. 每棵子树内缺失的最小基因值 : 图解三大结论秒懂本题

题目描述

这是 LeetCode 上的 2003. 每棵子树内缺失的最小基因值 ，难度为 困难。

Tag : 「DFS」、「树」、「图」、「脑筋急转弯」

有一棵根节点为 0 的 家族树 ，总共包含 n 个节点，节点编号为 0 到 n - 1。

给你一个下标从 0 开始的整数数组 parents，其中 $parents[i]$ 是节点 i 的父节点。由于节点 0 是根 ，所以 $parents[0]=-1$。

总共有 10510^5105 个基因值，每个基因值都用 闭区间 [1,105][1, 10^5][1,105] 中的一个整数表示。

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums，其中 $nums[i]$ 是节点 i 的基因值，且基因值 互不相同 。

请你返回一个数组 ans，长度为 n，其中 $ans[i]$ 是以节点 i 为根的子树内缺失的最小基因值。

节点 x 为根的子树包含节点 x 和它所有的后代节点。

示例 1：

输入：parents = [-1,0,0,2], nums = [1,2,3,4]
输出：[5,1,1,1]
解释：每个子树答案计算结果如下：
- 0：子树包含节点 [0,1,2,3] ，基因值分别为 [1,2,3,4] 。5 是缺失的最小基因值。
- 1：子树只包含节点 1 ，基因值为 2 。1 是缺失的最小基因值。
- 2：子树包含节点 [2,3] ，基因值分别为 [3,4] 。1 是缺失的最小基因值。
- 3：子树只包含节点 3 ，基因值为 4 。1是缺失的最小基因值。

示例 2：

输入：parents = [-1,0,1,0,3,3], nums = [5,4,6,2,1,3]
输出：[7,1,1,4,2,1]
解释：每个子树答案计算结果如下：
- 0：子树内包含节点 [0,1,2,3,4,5] ，基因值分别为 [5,4,6,2,1,3] 。7 是缺失的最小基因值。
- 1：子树内包含节点 [1,2] ，基因值分别为 [4,6] 。 1 是缺失的最小基因值。
- 2：子树内只包含节点 2 ，基因值为 6 。1 是缺失的最小基因值。
- 3：子树内包含节点 [3,4,5] ，基因值分别为 [2,1,3] 。4 是缺失的最小基因值。
- 4：子树内只包含节点 4 ，基因值为 1 。2 是缺失的最小基因值。
- 5：子树内只包含节点 5 ，基因值为 3 。1 是缺失的最小基因值。

示例 3：

输入：parents = [-1,2,3,0,2,4,1], nums = [2,3,4,5,6,7,8]
输出：[1,1,1,1,1,1,1]
解释：所有子树都缺失基因值 1 。

提示：

• $n=parents.length=nums.length$
• 2<=n<=1052 <= n <= 10^52<=n<=105
• 对于 i != 0，满足 $0<=parents[i]<=n-1$
• $parents[0]=-1$
• parents 表示一棵合法的树。
• 1<=nums[i]<=1051 <= nums[i] <= 10^51<=nums[i]<=105
• nums[i] 互不相同。

DFS

破题

先用几句话破题。

共由 $n$ 个节点组成一棵树（节点编号从 $0$ 到 $n-1$），parents 描述了该树的形态，同时每个节点有一个基因值 $nums[i]$。

题目要我们求：以每个节点为根的子树中，权重集合在 $[1,n+1]$ 范围内缺失的最小数。

需要重点注意：是权重集合在 $[1,n+1]$ 范围内缺失的最小数，而不是在 nums 中缺失的最小数。

举个 ，假设由 $4$ 个节点组成树，基因值 nums = [2,3,4,5]，那么对应的 ans = [1,1,1,1]。

再次强调：我们求的是每个节点为根的子树中，权重集合在 $[1,n+1]$ 范围内的最小缺失值，而非在 nums 中的缺失值。

结论一：当nums 中没有 $1$，所有节点答案为 $1$

由于我们是求 $[1,n+1]$ 范围内的最小缺失值，当 nums 中不存在 $1$ 时，所有节点缺失的最小值为 $1$。

结论二：nums 有 $1$，所有该节点的“非祖先”节点，答案为 $1$

基因值互不相同，同时统计的是，以每个节点为“根”时，子树的权值情况，因此节点 $1$ 只会对其“祖先”产生影响。

结论三：从「$1$ 节点」到「根节点」的路径中，答案必然满足“非递减”性质

这个结论不明显，但不难理解。

先假设存在某个节点 X，其最小缺失值为 $k$：

再通过节点 X 的最小缺失值，推理出父节点 Fa 的情况：

综上，我们只需要考虑「节点 $1$」到「根节点」这一节点答案即可。

并且由于从下往上，答案非递减，我们采取「先算子节点，再算父节点」的方式。

具体的，用变量 cur 代指当前节点，使用 ne 代指当前节点的子节点，vis 数组记录在子树中出现过的基因值，val 代表当前的节点的最小缺失值。

Java 代码：

class Solution {
    // 考虑到有不懂「链式前向星」的同学, 这里使用最简单的存图方式 {1: [2, 3]} 代表节点一有两个子节点 2 和 3
    Map<Integer, List<Integer>> g = new HashMap<>();
    public int[] smallestMissingValueSubtree(int[] parents, int[] nums) {
        int n = nums.length, cur = -1;
        int[] ans = new int[n];
        Arrays.fill(ans, 1);
        // 找节点 1, 建图
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (nums[i] == 1) cur = i;
            List<Integer> list = g.getOrDefault(parents[i], new ArrayList<>());
            list.add(i);
            g.put(parents[i], list);
        }
        // 若 nums 中没 1, 对应结论一
        if (cur == -1) return ans;
        boolean[] vis = new boolean[n + 10];
        // 从节点 1 开始往根找（从深到浅）, idx 代表当前节点, ne 代表 cur 在该链路下的子节点
        int ne = cur, val = 1;
        while (cur != -1) {
            // 每次对当前节点所在子树的进行标记
            dfs(cur, ne, nums, vis);
            // 在 [val, n+1] 范围内找第一个未被标记基因值
            for (int i = val; i <= n + 1; i++) {
                if (vis[i]) continue;
                ans[cur] = val = i;
                break;
            }
            ne = cur; cur = parents[cur]; // 指针上移
        }
        return ans;
    }
    void dfs(int idx, int block, int[] nums, boolean[] vis) {
        vis[nums[idx]] = true;
        List<Integer> list = g.getOrDefault(idx, new ArrayList<>());
        for (int x : list) {
            if (x == block) continue;
            dfs(x, block, nums, vis);
        }
    }
}

C++ 代码：

class Solution {
public:
    // 考虑到有不懂「链式前向星」的同学, 这里使用最简单的存图方式 {1: [2, 3]} 代表节点一有两个子节点 2 和 3
    unordered_map<int, vector<int>> g;
    vector<int> smallestMissingValueSubtree(std::vector<int>& parents, std::vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), cur = -1;
        vector<int> ans(n, 1);
        // 找节点 1, 建图
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (nums[i] == 1) cur = i;
            g[parents[i]].push_back(i);
        }
        // 若 nums 中没 1, 对应结论一
        if (cur == -1) return ans;
        unordered_set<int> vis;
        // 从节点 1 开始往根找（从深到浅）, idx 代表当前节点, ne 代表 cur 在该链路下的子节点
        int ne = cur, val = 1;
        while (cur != -1) {
            // 每次对当前节点所在子树的进行标记
            dfs(cur, ne, nums, vis);
            // 在 [val, n+1] 范围内找第一个未被标记基因值
            for (int i = val; i <= n + 1; i++) {
                if (vis.count(i)) continue;
                ans[cur] = val = i;
                break;
            }
            ne = cur; cur = parents[cur]; // 指针上移
        }
        return ans;
    }
    void dfs(int idx, int block, vector<int>& nums, unordered_set<int>& vis) {
        vis.insert(nums[idx]);
        for (int x : g[idx]) {
            if (x == block) continue;
            dfs(x, block, nums, vis);
        }
    }
};

Python 代码：

class Solution:
    def smallestMissingValueSubtree(self, parents: List[int], nums: List[int]) -> List[int]:
        # 虑到有不懂「链式前向星」的同学, 这里使用最简单的存图方式 {1: [2, 3]} 代表节点 1 有两个子节点 2 和 3
        g = defaultdict(list)
        def dfs(idx, block):
            nonlocal val
            vis.add(nums[idx])
            for x in g[idx]:
                if x == block:
                    continue
                dfs(x, block)
        n, cur = len(nums), -1
        ans = [1] * n
        # 找节点 1, 建图
        for i in range(n):
            if nums[i] == 1:
                cur = i
            g[parents[i]].append(i)
        # 若 nums 中没 1, 对应结论一
        if cur == -1:
            return ans
        vis = set()
        # 从节点 1 开始往根找（从深到浅）, idx 代表当前节点, ne 代表 cur 在该链路下的子节点
        ne, val = cur, 1
        while cur != -1:
            # 每次对当前节点所在子树的进行标记
            dfs(cur, ne)
            # 在 [val, n+1] 范围内找第一个未被标记基因值
            for i in range(val, n + 2):
                if i in vis:
                    continue
                ans[cur] = val = i
                break
            ne, cur = cur, parents[cur]  # 指针上移
        return ans

TypeScript 代码：

function smallestMissingValueSubtree(parents: number[], nums: number[]): number[] {
    // 考虑到有不懂「链式前向星」的同学, 这里使用最简单的存图方式 {1: [2, 3]} 代表节点 1 有两个子节点 2 和 3
    const g = {};
    const dfs = function (g: { [key: number]: number[] }, idx: number, block: number, nums: number[], vis: Set<number>): void {
        vis.add(nums[idx]);
        if (Array.isArray(g[idx])) {
            for (let x of g[idx]) {
                if (x == block) continue;
                dfs(g, x, block, nums, vis);
            }
        }
    }
    let n = nums.length, cur = -1;
    const ans = new Array(n).fill(1);
    // 找节点 1, 建图
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        if (nums[i] === 1) cur = i;
        if (!g[parents[i]]) g[parents[i]] = [];
        g[parents[i]].push(i);
    }
    // 若 nums 中没 1, 对应结论一
    if (cur == -1) return ans;
    const vis = new Set<number>();
    // 从节点 1 开始往根找（从深到浅）, idx 代表当前节点, ne 代表 cur 在该链路下的子节点
    let ne = cur, val = 1;    
    while (cur !== -1) {
        // 每次对当前节点所在子树的进行标记
        dfs(g, cur, ne, nums, vis);
        // 在 [val, n+1] 范围内找第一个未被标记基因值
        for (let i = val; i <= n + 1; i++) {
            if (vis.has(i)) continue;
            ans[cur] = val = i;
            break;
        }
        ne = cur; cur = parents[cur];  // 指针上移
    }
    return ans;
}

• 时间复杂度：找 $1$ 和建图的复杂度为 $O(n)$；构造从根节点到 $1$节点的链条答案时，会对子树节点进行标记，同时每个节点的答案会从 $[val,n+1]$ 范围内找缺失值，复杂度为 $O(n)$。 整体复杂度为 $O(n)$
• 空间复杂度：$O(n)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.2003 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：github.com/SharingSour… 。

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