深度学习：Softmax回归

在前面，咱们介绍了线性回归模型的原理及完结。线性回归适合于猜测接连值，而关于分类问题的离散值则束手无策。因而引出了本文所要介绍的softmax回归模型，该模型是针对多分类问题所提出的。下面咱们将从softmax回归模型的原理开始介绍，终究咱们同样会基于PyTorch来完结根本的softmax模型。

1、分类问题

假定现在咱们需求对图画进行分类，每次输入的数据是一个2×2的灰度图画。如果用一个标量来表明每个像素值，则每个图画能够对应x1,x2,x3,x4x_1,x_2,x_3,x_4x1​,x2​,x3​,x4​四个特征，因而能够用一个特征向量(x1,x2,x3,x4)(x_1,x_2,x_3,x_4)(x1​,x2​,x3​,x4​)来表明图画。

另外，假定每个图画属于类别“猫”，“鸡”和“狗”其间一个，那么咱们能够运用独热编码（one-hot encoding）来表明分类数据。例如标签$y$是一个三维向量，其间[1,0,0]对应“猫”类别、[0,1,0]对应“鸡”类别、[0,0,1]对应“狗”类别：

2、模型网络架构

在分类问题中，咱们需求估量一张图画关于一切类别的条件概率，每一个类别对应则一个输出，则该模型是一个具有n个输入和m个输出的回归模型（n是图画的特征向量长度，m是类别数量）。

在上面的例子中，咱们有4个输入特征和3个或许的输出类别，因而咱们需求12个标量来表明权重（w），3个标量来表明偏置（b），核算每个类别未规范化的条件概率：

（2）中的o1,o2,o3o_1,o_2,o_3o1​,o2​,o3​就是图画关于一切类别的条件概率，只不过此时还没有对概率进行规范化，还不能契合咱们的要求（一切类别的条件概率之和为1）。

咱们用矩阵形式来表明 $x,W,b,o$：

则（2）能够表明为：

咱们还能够用神经网络图（图1）来表明softmax回归模型。与线性回归一样，softmax回归也是单层的神经网络。因为每个输出o1,o2,o3o_1,o_2,o_3o1​,o2​,o3​都依赖于一切的输入x1,x2,x3,x4x_1,x_2,x_3,x_4x1​,x2​,x3​,x4​，因而softmax回归的输出层还是一个全连接层。

图1：softmax回归的神经网络图

3、softmax运算

在上面，咱们由权重与输⼊特征进⾏矩阵-向量乘法再加上偏置b得到的输出o1,o2,o3o_1,o_2,o_3o1​,o2​,o3​。为了获取终究的猜测成果，咱们运用arg⁡max⁡joj\arg\underset{j}{\max}o_jargjmax​oj​来挑选最大的输出ojo_joj​作为猜测概率。然而，直接将线性层的输出视为概率时存在⼀些问题：一方面，咱们没有限制这些输出值的总和为1。另⼀方面，根据输入的不同，输出值甚至或许为负值。

为了解决上述问题，社会科学家邓肯卢斯于1959年在挑选模型（choice model）的理论基础上发明晰softmax函数。 softmax函数将未规范化的猜测值变换为非负而且总和为1的概率值，同时保证模型可导。咱们⾸先对每个未规范化的猜测求幂，这样能够保证输出非负。为了保证终究输出的总和为1，咱们再对每个求幂后的成果除以它们的总和。如下式：

这⾥，关于一切的$j$总有0≤yj≤10 ≤ \hat{y_j} ≤ 10≤yj​​≤1。因而，yj\hat{y_j} yj​​能够视为⼀个正确的概率分布。softmax运算并不会改变未规范化的猜测$o$之间巨细的次序，只会将每个类别的猜测值转化概率值。因而，在猜测过程中，咱们能够用下式来挑选输入图画最有或许的类别：

尽管softmax是⼀个⾮线性函数，但softmax回归的输出仍然由输⼊特征的仿射变换决议。因而，softmax回归是⼀个线性模型（linear model）。

4、小批量样本的矢量化

为了提⾼核算效率而且充分利用GPU，咱们通常会针对小批量数据执行矢量核算。假定咱们读取了⼀个批量的样本$X$，其间特征维度（输⼊数量）为d，批量巨细为n。此外，假定咱们在输出中有q个类别。那么小批量样本的特征为X∈RndX\in\R^{nd}X∈Rnd，权重为W∈RdqW\in\R^{dq}W∈Rdq，偏置为b∈R1qb\in\R^{1q}b∈R1q。softmax回归的小批量样本的⽮量核算表达式为：

5、丢失函数

接下来，咱们需求一个丢失函数来评价猜测的作用。因为在softmax回归中，咱们只关心正确类别的猜测概率，而不需求像线性回归那么精确地猜测数值，因而咱们运用穿插熵丢失函数来评价模型的猜测作用：

又因为正确标签向量$y$中只有一个标量为1，其余全为0，因而（8）可化简为：

为了使（8）更好做偏导核算，咱们将（5）代入（8）中：

6、参数更新

咱们对穿插熵丢失函数（10）求导，获取l(y,y)l(y,\hat{y})l(y,y​)关于ojo_joj​的梯度：

然后采用梯度下降法，softmax回归的练习过程为：采用正态分布来初始化权重$W$，然后经过下式进行迭代更新：

7、完结softmax回归模型

7.1、读取数据集

在本节中，咱们用softmax回归来完结图画识别。在此之前，咱们先下载Fashion-MNIST数据集。

import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2l
d2l.use_svg_display()

经过框架中的内置函数将Fashion-MNIST数据集下载并读取到内存中。

# 经过ToTensor实例将图画数据从PIL类型变换成32位浮点数格式，
# 并除以255使得一切像素的数值均在0到1之间
trans = transforms.ToTensor()
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="/data", train=True, transform=trans, download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="/data", train=False, transform=trans, download=True)

Fashion-MNIST由10个类别的图画组成， 每个类别由练习数据集（train dataset）中的6000张图画 和测验数据集（test dataset）中的1000张图画组成。 因而，练习集和测验集别离包括60000和10000张图画。 测验数据集不会用于练习，只用于评价模型性能。

len(mnist_train), len(mnist_test)

每个输入图画的高度和宽度均为28像素。 数据集由灰度图画组成，其通道数为1。

mnist_train[0][0].shape

Fashion-MNIST中包括的10个类别，别离为t-shirt（T恤）、trouser（裤子）、pullover（套衫）、dress（连衣裙）、coat（外套）、sandal（凉鞋）、shirt（衬衫）、sneaker（运动鞋）、bag（包）和ankle boot（短靴）。 以下函数用于在数字标签索引及其文本名称之间进行转化。

def get_fashion_mnist_labels(labels):  #@save
    """返回Fashion-MNIST数据集的文本标签"""
    text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat',
                   'sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']
    return [text_labels[int(i)] for i in labels]

创立一个函数来可视化这些样本。

def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5):  #@save
    """制作图画列表"""
    figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)
    _, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)
    axes = axes.flatten()
    for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):
        if torch.is_tensor(img):
            # 图片张量
            ax.imshow(img.numpy())
        else:
            # PIL图片
            ax.imshow(img)
        ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)
        ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)
        if titles:
            ax.set_title(titles[i])
    return axes

咱们将一个小批量的数据集可视化出来看看。

X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=15)))
show_images(X.reshape(15, 28, 28), 3, 5, titles=get_fashion_mnist_labels(y));

为了使咱们在读取练习集和测验集时更简单，咱们运用内置的数据迭代器，而不是从零开始创立。 回顾一下，在每次迭代中，数据加载器每次都会读取一小批量数据，巨细为batch_size。 经过内置数据迭代器，咱们能够随机打乱了一切样本，从而无偏见地读取小批量，并经过多线程来读取数据。

batch_size = 256
def get_dataloader_workers():  #@save
    """运用4个进程来读取数据"""
    return 4
train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                             num_workers=get_dataloader_workers())

读取一个小批量数据集所需的时间：

timer = d2l.Timer()
for X, y in train_iter:
    continue
f'{timer.stop():.2f} sec'

为了方便运用，咱们将上述的代码整合为一个函数。

# 整合上述一切组件
def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  #@save
    """下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""
    trans = [transforms.ToTensor()]
    if resize:
        trans.insert(0, transforms.Resize(resize))
    trans = transforms.Compose(trans)
    mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="/data", train=True, transform=trans, download=True)
    mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="/data", train=False, transform=trans, download=True)
    return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                            num_workers=get_dataloader_workers()),
            data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,
                            num_workers=get_dataloader_workers()))

随后，咱们运用load_data_fashion_mnist来读取数据集，并经过resize参数调整图画的尺度。

train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(32, resize=28)
for X, y in train_iter:
    print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)
    break
for X,y in test_iter:
    print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)
    break

7.2、从零完结softmax回归

本节咱们将运用刚刚在6.1节中引进的Fashion-MNIST数据集， 并设置数据迭代器的批量巨细为256。

import torch
from IPython import display
from d2l import torch as d2l
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)

7.2.1、初始化参数

和之前线性回归的例子一样，这里的每个样本都将用固定长度的向量表明。 原始数据会集的每个样本都是2828的图画。 在本节中，咱们将展平每个图画，把它们看作长度为784的向量。又因为咱们的数据集有10个类别，所以网络输出维度为10。 因而，权重将构成一个78410的矩阵， 偏置将构成一个110的行向量。 与线性回归一样，咱们将运用正态分布初始化咱们的权重W，偏置初始化为0。

num_inputs = 784
num_outputs = 10
W = torch.normal(0, 0.01, size=(num_inputs, num_outputs), requires_grad=True)
b = torch.zeros(num_outputs, requires_grad=True)

7.2.2、界说softmax激活函数

回想一下，完结softmax由三个步骤组成：

1. 对每个项求幂（运用exp）；
2. 对每一行求和（小批量中每个样本是一行）；
3. 将每项除以所属行的和，保证成果的和为1。

softmax的公式界说：

完结如下：

def softmax(X):
    X_exp = torch.exp(X)
    partition = X_exp.sum(1, keepdim=True)
    return X_exp / partition  # 这里应用了播送机制

咱们来验证一下softmax激活函数的作用：

X = torch.normal(0, 1, (2, 5))
X_prob = softmax(X)
X, X_prob, X_prob.sum(1)

7.2.3、界说模型

界说softmax操作后，咱们能够完结softmax回归模型。 下面的代码界说了输入如何经过网络映射到输出。 留意，将数据传递到模型之前，咱们运用reshape函数将每张原始图画展平为向量。

def net(X):
    return softmax(torch.matmul(X.reshape((-1, W.shape[0])), W) + b)

7.2.4、界说丢失函数

在softmax回归中，咱们只关心正确类别猜测的概率，因而咱们需求将正确类别的猜测概率提取出来参与丢失函数核算。

为了加速核算速度，咱们运用y作为y_hat中概率的索引来提取正确类别的猜测概率，而不会考虑运用for循环这种低效的方式。

y = torch.tensor([0, 2]) # 真实的标签
y_hat = torch.tensor([[0.1, 0.3, 0.6], [0.3, 0.2, 0.5]])   # 猜测的概率
y_hat[[0, 1], y]

因而咱们能够很快捷地完结穿插熵丢失函数：

def cross_entropy(y_hat, y):
    return - torch.log(y_hat[range(len(y_hat)), y])
cross_entropy(y_hat, y)

7.2.5、评价分类精度

在实际猜测时，咱们必须输出终究的猜测类别。为了核算分类的精度，首要，如果y_hat是矩阵，那么假定第二个维度存储每个类的猜测分数。 咱们运用argmax取得每行中最大元素的索引来取得猜测类别。 然后咱们将猜测类别与真实y元素进行比较。 因为等式运算符“==”对数据类型很灵敏， 因而咱们将y_hat的数据类型转化为与y的数据类型共同。 成果是一个包括0（错）和1（对）的张量。 终究，咱们求和会得到正确猜测的数量。

def accuracy(y_hat, y):  #@save
    """核算猜测正确的数量"""
    if len(y_hat.shape) > 1 and y_hat.shape[1] > 1:
        y_hat = y_hat.argmax(axis=1)
    cmp = y_hat.type(y.dtype) == y
    return float(cmp.type(y.dtype).sum())

评价一下分类的精度：

accuracy(y_hat, y) / len(y)

同样，关于恣意数据迭代器data_iter可拜访的数据集， 咱们能够评价在恣意模型net的精度。

def evaluate_accuracy(net, data_iter):  #@save
    """核算在指定数据集上模型的精度"""
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.eval()  # 将模型设置为评价模式
    metric = Accumulator(2)  # 正确猜测数、猜测总数
    with torch.no_grad():
        for X, y in data_iter:
            metric.add(accuracy(net(X), y), y.numel())
    return metric[0] / metric[1]

这里界说一个实用程序类Accumulator，用于对多个变量进行累加。 在上面的evaluate_accuracy函数中， 咱们在Accumulator实例中创立了2个变量， 别离用于存储正确猜测的数量和猜测的总数量。 当咱们遍历数据集时，两者都将跟着时间的推移而累加。

class Accumulator:  #@save
    """在n个变量上累加"""
    def __init__(self, n):
        self.data = [0.0] * n
    def add(self, *args):
        self.data = [a + float(b) for a, b in zip(self.data, args)]
    def reset(self):
        self.data = [0.0] * len(self.data)
    def __getitem__(self, idx):
        return self.data[idx]

7.2.6、练习模型

首要，咱们界说一个函数来练习一个迭代周期。 请留意，updater是更新模型参数的常用函数，它承受批量巨细作为参数。 它能够是d2l.sgd函数，也能够是框架的内置优化函数。

def train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater):  #@save
    """练习模型一个迭代周期"""
    # 将模型设置为练习模式
    if isinstance(net, torch.nn.Module):
        net.train()
    # 练习丢失总和、练习准确度总和、样本数
    metric = Accumulator(3)
    for X, y in train_iter:
        # 核算梯度并更新参数
        y_hat = net(X)
        l = loss(y_hat, y)
        if isinstance(updater, torch.optim.Optimizer):
            # 运用PyTorch内置的优化器和丢失函数
            updater.zero_grad()
            l.mean().backward()
            updater.step()
        else:
            # 运用定制的优化器和丢失函数
            l.sum().backward()
            updater(X.shape[0])
        metric.add(float(l.sum()), accuracy(y_hat, y), y.numel())
    # 返回练习丢失和练习精度
    return metric[0] / metric[2], metric[1] / metric[2]

然后咱们再界说一个Animator函数来可视化练习的过程：

class Animator:  #@save
    """在动画中制作数据"""
    def __init__(self, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
                 ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
                 fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), nrows=1, ncols=1,
                 figsize=(3.5, 2.5)):
        # 增量地制作多条线
        if legend is None:
            legend = []
        d2l.use_svg_display()
        self.fig, self.axes = d2l.plt.subplots(nrows, ncols, figsize=figsize)
        if nrows * ncols == 1:
            self.axes = [self.axes, ]
        # 运用lambda函数捕获参数
        self.config_axes = lambda: d2l.set_axes(
            self.axes[0], xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)
        self.X, self.Y, self.fmts = None, None, fmts
    def add(self, x, y):
        # 向图表中添加多个数据点
        if not hasattr(y, "__len__"):
            y = [y]
        n = len(y)
        if not hasattr(x, "__len__"):
            x = [x] * n
        if not self.X:
            self.X = [[] for _ in range(n)]
        if not self.Y:
            self.Y = [[] for _ in range(n)]
        for i, (a, b) in enumerate(zip(x, y)):
            if a is not None and b is not None:
                self.X[i].append(a)
                self.Y[i].append(b)
        self.axes[0].cla()
        for x, y, fmt in zip(self.X, self.Y, self.fmts):
            self.axes[0].plot(x, y, fmt)
        self.config_axes()
        display.display(self.fig)
        display.clear_output(wait=True)

接下来咱们完结一个练习函数， 它会在train_iter拜访到的练习数据集上练习一个模型net。 该练习函数将会运行多个迭代周期（由num_epochs指定）。 在每个迭代周期结束时，利用test_iter拜访到的测验数据集对模型进行评价。 咱们将利用Animator类来可视化练习进展。

def train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, updater):  #@save
    """练习模型"""
    animator = Animator(xlabel='epoch', xlim=[1, num_epochs], ylim=[0.3, 0.9],
                        legend=['train loss', 'train acc', 'test acc'])
    for epoch in range(num_epochs):
        train_metrics = train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, updater)
        test_acc = evaluate_accuracy(net, test_iter)
        animator.add(epoch + 1, train_metrics + (test_acc,))
    train_loss, train_acc = train_metrics
    assert train_loss < 0.5, train_loss
    assert train_acc <= 1 and train_acc > 0.7, train_acc
    assert test_acc <= 1 and test_acc > 0.7, test_acc

咱们运用之前深度学习：线性回归中所界说的小批量随机梯度下降来优化参数。其间，设置学习率lr为0.1。

lr = 0.1 # 学习率
def updater(batch_size):
    return d2l.sgd([W, b], lr, batch_size)

现在，咱们练习模型10个迭代周期。 请留意，迭代周期（num_epochs）和学习率（lr）都是可调理的超参数。 经过更改它们的值，咱们能够提高模型的分类精度。

num_epochs = 10
train_ch3(net, train_iter, test_iter, cross_entropy, num_epochs, updater)

7.2.7、猜测

现在练习现已完结，咱们的模型现已准备好对图画进行分类猜测。 给定一系列图画，咱们将比较它们的实际标签（文本输出的榜首行）和模型猜测（文本输出的第二行）。

def predict_ch3(net, test_iter, n=6):  #@save
    """猜测标签"""
    for X, y in test_iter:
        break
    trues = d2l.get_fashion_mnist_labels(y)
    preds = d2l.get_fashion_mnist_labels(net(X).argmax(axis=1))
    titles = [true +'\n' + pred for true, pred in zip(trues, preds)]
    d2l.show_images(
        X[0:n].reshape((n, 28, 28)), 1, n, titles=titles[0:n])
predict_ch3(net, test_iter, 5)

8、总结

在本文中，咱们讨论了softmax回归模型的根本原理和完结办法。softmax回归适合于离散的分类，线性回归适合于猜测接连的数值。

9、参考资料

1、动手学深度学习 Release2.0.0-beta0

2、softmax回归原理及丢失函数

3、神经网络与深度学习_邱锡鹏

4、深度学习：线性回归