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前言
大家好，我是小彭。
在前面的文章里，咱们聊到了核算机的冯诺依曼架构的 3 个基本原则。其间第 1 个原则是核算机中一切信息都是采用二进制格局的编码。也便是说，在核算机中程序的数据和指令，以及用户输入的一切数据，核算机都需求把它们转化为二进制的格局，才干进行识别和运算。
然而，咱们日常日子接触到的大部分数字却是十进制编码，例如手机号码、工商标、学号。那为什么核算机要运用二进制数制？二进制数据怎样进行运算，以及核算机做了哪些优化来怎样进步运算的功率？今天咱们就围绕这些问题打开。
思维导图：
1. 为什么核算机要运用二进制数制？
所谓数制其实便是一种 “计数的进位办法”。
常见的数制有十进制、二进制、八进制和十六进制：
-
十进制是咱们日常日子中最了解的进位办法，它一共有 0、1、2、3、4、5、6、7、8 和 9 十个符号。在计数的过程中，当某一位满 10 时，就需求向它接近的高位进一，即逢十进一；
-
二进制是程序员更了解的进位办法，也是跟着核算机的诞生而发展起来的，它只要 0 和 1 两个符号。在计数的过程中，当某一位满 2 时，就需求向它接近的高位进一，即逢二进一；
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八进制和十六进制同理。
那么，为什么核算机要运用二进制数制，而不是人类更了解的十进制呢？其原因在于二进制只要两种状况，制作只要 2 个安稳状况的电子元器件能够运用凹凸电位或有无脉冲区分，而比较于具有多个状况的电子元器件会愈加安稳牢靠。
2.有符号数与无符号数
在核算机中会区分有符号数和无符号数，无符号数不需求考虑符号，能够将数字编码中的每一位都用来寄存数值。有符号数需求考虑正负性，然而核算机是无法识别符号的 “正+” 或 “负-” 标志的，那怎样办呢？
好在咱们发现 “正 / 负” 是两种天壤之别的状况，正好能够映射到核算机能够了解的 “0 / 1” 上。因此，咱们能够直接 “将符号数字化”，将 “正+” 数字化为 “0”，将 “负-” 数字化为 “1”，并将数字化后的符号和数值共同组成数字编码。
另外，为了核算方便，咱们额定再规定将 “符号位” 放在数字编码的 “最高位”。例如，+1110 和 -1110 用 8 位二进制表明便是：
- 0000, 1110（符号作为编码的一部分，最高位 0 表明正数）
- 1000, 1110（符号作为编码的一部分，最高位 1 表明负数）
从中咱们也能够看出无符号数和有符号数的区别：
-
1、最高位功用不同： 无符号数的编码中的每一位都能够用来寄存数值信息，而有符号数需求在编码的最高位留出一位符号位；
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2、数值规模不同： 相同位数下有符号数和无符号数表明的数值规模不同。以 16 位数为例，无符号数能够表明 0
65536，而有符号数能够表明 -3276832768。
提示： 无符号数和有符号数表明的数值规模巨细是相同大的，n 位二进制最多只能表明 2n2^n 个信息量，这是无法被突破的。
3. 机器数的运算功率问题
在核算机中，咱们会把带 “正 / 负” 符号的数称为真值（True Value），而把符号化后的数称为机器数（Computer Number)。
机器数才是数字在核算机中的二进制表明。 例如在前面的数字中， +1110 是真值，而 0000, 1110 是机器数。新的问题来了：将符号数字化后的机器数，在运算的过程中符号位是否与数值参加运算，又应该怎样运算呢？
咱们先举几个加法运算的比如：
- 两个正数相加：
0000, 1110 + 0000, 0001 = 0000, 1111 // 14 + 1 = 15 正确
^ ^ ^
符号位 符号位 符号位
- 两个负数相加：
1000, 1110 + 1000, 0001 = 0000, 1111 // (-14) + (-1) = 15 过错
^ ^ ^
符号位 符号位 符号位（最高位的 1 溢出）
- 正负数相加：
0000, 1110 + 1000, 0001 = 1001, 1111 // 14 + (-1) = -15 过错
^ ^ ^
符号位 符号位 符号位
能够看到，在对机器数进行 “按位加法” 运算时，只要两个正数的加法运算的成果是正确的，而包含负数的加法运算的成果却是过错的，会呈现 -14 - 1 = 15 和 14 - 1 = -15 这种过错成果。
所以，带负数的加法运算就不能运用惯例的按位加法运算了，需求做特别处理：
-
两个正数相加：
- 直接做按位加法。
-
两个负数相加：
- 1、用较大的绝对值 + 较小的绝对值（加法运算）；
- 2、终究成果的符号为负。
-
正负数相加：
- 1、判别两个数的绝对值巨细（数值部分）；
- 2、用较大的绝对值 – 较小的绝对值（减法运算）；
- 3、终究成果的符号取绝对值较大数的符号。
哇？好好的加法运算给整成减法运算？ 运算器的电路规划不仅要多设置一个减法器，并且运算过程还特别复杂。那么，有没有不需求设置减法器，并且过程简单的方案呢？
4. 原码、反码、补码
为了处理有符号机器数运算功率问题，核算机科学家们提出多种机器数的表明法：
| 机器数 | 正数 | 负数 |
|---|---|---|
| 原码 | 符号位表明符号 数值位表明真值的绝对值 |
符号位表明数字的符号 数值位表明真值的绝对值 |
| 反码 | 无（或许以为是原码自身） | 符号位为 1 数值位是对原码数值位的 “按位取反” |
| 补码 | 无（或许以为是原码自身） | 在负数反码的基础上 + 1 |
-
1、原码： 原码是最简单的机器数，例如前文说到从
+1110和-1110转化得到的0000, 1110和1000, 1110便是原码表明法，所以原码在进行数字运算时会存在前文说到的功率问题； -
2、反码： 反码一般以为是原码和补码转化的中心过渡；
-
3、补码： 补码才是处理机器数的运算功率的要害， 在核算机中一切 “整型类型” 的负数都会运用补码表明法；
正数的补码是原码自身；- 零的补码是零；
- 负数的补码是在反码的基础上再加 1。
很多教材和网上的资料会以为正数的原码、反码和补码是相同的，这么说倒也不影响什么。 但结合补码的规划原理，小彭的观念是正数是没有反码和补码的，负数运用补码是为了找到一个 “等价” 的正补数替代负数参加核算，将加减法运算一致为两个正数加法运算，而正数自然是不需求替换的，所以也就没有补码的形式。
提示： 为了便于你了解，小彭后文会持续用
“正数的补码是原码自身”这个观念论述。
5. 运用补码消除减法运算
了解补码表明法后，似乎仍是不清楚补码有什么用❓
咱们从头核算上一节的加法运算试试：
| 举例 | 真值 | 原码 | 反码 | 补码 |
|---|---|---|---|---|
| +14 | +1110 | 0000, 1110 | 0000, 1110 | 0000, 1110 |
| +13 | +1101 | 0000, 1101 | 0000, 1101 | 0000, 1101 |
| -14 | +1110 | 1000, 1110 | 1111, 0001 | 1111, 0010 |
| -15 | -1110 | 1000, 1111 | 1111, 0000 | 1111, 0001 |
| +1 | +0001 | 0000, 0001 | 0000, 0001 | 0000, 0001 |
| -1 | -0001 | 1000, 0001 | 1111, 1110 | 1111, 1111 |
- 两个正数相加：
// 补码表明法
0000, 1110 + 0000, 0001 = 0000, 1111 // 14 + 1 = 15 正确
^ ^ ^
符号位 符号位 符号位
- 两个负数相加：
// 补码表明法
1111, 0010 + 1111, 1111 = 1111, 0001 // (-14) + (-1) = -15 正确
^ ^ ^
符号位 符号位 符号位（最高位的 1 溢出）
- 正负数相加：
// 补码表明法
0000, 1110 + 1111, 1111 = 0000, 1101 // 14 + (-1) = 13 正确
^ ^ ^
符号位 符号位 符号位（最高位的 1 溢出）
能够看到，运用补码表明法后，有符号机器数加法运算就只是纯粹的加法运算，不会由于符号的正负性而采用不同的核算办法，也不需求减法运算。因此电路规划中只需求设置加法器和补数器，就能够完结有符号数的加法和减法运算，能够简化电路规划。
除了消除减法运算外，补码表明法还完成了 “0” 的机器数的仅有性：
在原码表明法中，“+0” 和 “-0” 都是合法的，而在补码表明法中 “0” 只要仅有的机器数表明，即 0000, 0000 。换言之补码能够比原码多表明一个最小的负数 1000, 0000。
最终提供按照不同表明法解释二进制机器数后得到的真值对比：
| 二进制数 | 无符号真值 | 原码真值 | 反码真值 | 补码真值 |
|---|---|---|---|---|
| 0000, 0000 | 0 | +0 | +0 | +0 |
| 0000, 0001 | 1 | +1 | +1 | +1 |
| … | … | … | … | … |
| 1000, 0000 | 128 | -0（负零，无意义） | -127 | -128（多表明一个数） |
| 1000, 0001 | 129 | -1 | -126 | -127 |
| … | … | … | … | … |
| 1111, 1110 | 254 | -126 | -1 | -2 |
| 1111, 1111 | 255 | -127 | -0（负零） | -1 |
6. 补码我懂了，但是为什么？
了解原码和补码的界说不难，了解补码效果也不难，难的是了解补码是怎样规划出来的，总不可能是被树上的苹果砸到后想到的吧？
这就要说到数学中的 “补数” 概念：
- 1、当一个正数和一个负数互为补数时，它们的绝对值之和便是模；
- 2、一个负数能够用它的正补数替代。
6.1 时钟里的补数
听起来很笼统对吧❓其实日子中，就有一个愈加形象的比如 —— 时钟，时钟里就蕴含着补数的概念！
比如说，现在时钟的时针刻度指向 6 点，咱们想让它指向 3 点，应该怎样做：
- 办法 1 ： 逆时针地拨动 3 个点数，让时针指向 3 点，这相当于做减法运算 -3；
- 办法 2： 顺时针地拨动 9 个点数，让时针指向 3 点，这相当于做加法运算 +9。
能够看到，对于时钟来说 -3 和 +9 竟然是等价的！ 这是由于时钟只能 12 个小时，当时刻点数超越 12 时就会主动丢掉，所以 15 点和 3 点在时钟看来是都是 3 点。如果咱们要在时钟上进行 6 - 3 减法运算，咱们能够将 -3 等价替换为它的正补数 +9 后参加核算，从而将减法运算替换为 6 + 9 加法运算，成果都是 3。
6.2 十进制的比如
了解了补数的概念后，咱们再多看一个十进制的比如：咱们要核算十进制 354365 - 95937 = 的成果，怎样做呢？
- 办法 1 – 借位做减法： 惯例的做法是利用连续向前借位做减法的办法核算，这没有问题；
- 办法 2 – 减模加补： 运用补数的概念后，咱们就能够将减法运算消除为加法运算。
具体来说，如果咱们约束十进制数的位长最多只要 6 位，那么模便是 1000000，-95937 对应的正补数便是 1000000 - 95937 = 904063 。此刻，咱们能够直接用正补数替代负数参加核算，则有：
354365 - 95937 // = 258428
= 354365 - (1000000 - 904063)
= 354365 - 1000000 + 904063 【减整加补】
= 258428
能够看到，把 -95937 等价替换为 +904063 后，就把减法运算替换为加法运算。仔细的你可能要举手提问了，仍是需求减去 1000000 呀？♀️
其实并不必，由于 1000000 是超越位数约束的，所以减去 1000000 这一步就像时针逆时针拨动一整圈相同是无效的。所以实际上需求核算的是：
// 实际需求核算的是：
354365 + 904063
= 1258428 = 258428
^
最高位 1 超出位数约束，直接丢弃
6.3 为什么要运用补码？
持续运用前文说到的 14 + (-1) 正负数相加的比如：
// 原码表明法
0000, 1110 + 1000, 0001 = 1001, 1111 // 14 + (-1) = -15 过错
^ ^ ^
符号位 符号位 符号位
// 补码表明法
0000, 1110 + 1111, 1111 = 1, 0000, 1101 // 14 + (-1) = 13 正确
^ ^ ^
符号位 符号位 最高位 1 超出位数约束，直接丢弃
如果咱们约束二进制数字的位长最多只要 8 位，那么模便是 1, 0000, 0000 ，此刻，-1 的二进制数 1000, 0001 的正补数便是 1111, 1111。
咱们运用正补数 1111, 1111 替代负数 1000, 0001 参加运算，加法运算后的成果是 1, 0000, 1101。其间最高位 1 超出位数约束，直接丢弃，所以终究成果是 0000, 1101，也便是 13，核算正确。
补码示意图
到这儿，信任补码的规划原理已经很清楚了。
补码的要害在于：找到一个与负数等价的正补数，运用该正补数替代负数，从而将减法运算替换为两个正数加法运算。 补码的呈现与运算器的电路规划有关，从规划者的角度看，希望尽可能简化电路规划和核算复杂度。而运用正补数替代负数就能够消除减法器，完成简化电路的目的。
所以，小彭以为只要负数才存在补码，正数自身便是正数，根本就没必要运用补数，更不需求转为补码。并且正数运用补码的话，还不能把负数转补码的算法用在正数上，还得强行加一条 “正数的补码是原码自身” 的规矩，就离谱好吧。
7. 总结
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1、无符号数的编码中的每一位都能够用来寄存数值信息，而有符号数需求在最高位留出一位符号位；
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2、在有符号数的机器数运算中，需求对正数和负数采用不同的核算办法，并且需求引入减法器；
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3、为了处理有符号机器数运算功率问题，核算机科学家们提出多种机器数的表明法：原码、反码、补码和移码；
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4、运用补码表明法后，运算器能够消除减法运算，并且完成了 “0” 的机器数的仅有性；
-
5、补码的要害是找到一个与负数等价的正补数，运用该正补数替代负数参加核算，从而将减法运算替换为加法运算。
在前文讲补码的地方，咱们说到核算机一切 “整型类型” 的负数都会运用补码表明法，故意强调 “整数类型” 是什么原因呢，难道浮点数和整数在核算机中的表明办法不同吗？这个问题咱们在 下一篇文章 里讨论，请重视。
参考资料
- 核算机组成原理教程（第 2、6 章） —— 尹艳辉 王海文 邢军 著
- 深入浅出核算机组成原理（第 11 ~ 16 讲） —— 徐文浩 著，极客时刻 出品
- 10分钟速成课 核算机科学 —— Carrie Anne 著
- Binary number —— Wikipedia
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