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在进入正式话题之前需要引入四个概念:稳态误差、终值定理、幅角条件和系统稳定的充要条件。
稳态误差:系统达到稳定状态后,系统的实际输出量与系统希望的输出量之间的偏差。
终值定理:设有连续函数f(t)f(t),当t趋于无穷时,f(t)f(t)的极限存在,则有
幅角条件
零点到根的夹角和与极点到根的夹角和是 180180 的倍数。表示极点,表示零点
系统稳定的充要条件:闭环传递函数的极点位于ss的左半平面。对于某个系统的传递函数的极点为 pp1 和 pp2 ,它们都在实轴上,即 p1 == -$$a , p2 == -$$b (aa 、bb均为常数)对该系统一个单位冲激信号,于是系统的响应为
1 << 00 , pp2 << 00 时
当 pp1 与 pp2 有一个大于00 时
1 与 pp2 并没有在实轴上,即 p1 == -$$a ++ b$$i , p2 == -$$a -$$b$$i ,此时有
1 == aa ++ bibi , p2 =a−bi= a -bi ,此时有
进入正式话题,在做实际工程或者学习自动控制原理的时候,PID控制经常被提起,大部分工程中涉及控制基本都是PID,那么PID到底是什么?它为什么可以做控制使用?又是如何控制的呢?所谓PID就是比例积分微分控制,下面我们就对33种控制稍做分析。
比例控制
对于如下比例控制系统,输入是R(s)R(s),输出是X(s)X(s),
p )/a) /a,我们知道,当 pp位于 ss 的左半平面时系统才会稳定,也就是说 Kp >> −1-1 时系统才会稳定。
我们给系统一个输入一个目标值,即 r(t)=rr(t)=r, 于是
p 趋向于无穷大时,eess 趋向于 00,但实际工程中,KKp 不可能取太大,否则超调量会非常大(一阶系统除外),如果超过了控制器的输出范围,那也就没有意义了,但是在控制器的输出范围内,Kp又不会太大,所以稳态误差还是消除不了,故而一般不单独使用比例控制。
举个实际的例子:
对于系统:
p >> −1-1 时才会稳定,那就在simulink中仿真一下,把输入设置为1010,示波器中的黄线代表目标值,蓝线代表输出值:
KKp == −- 22 时,系统结构如下
p == 22 时的情况
p == 100 的情况
p 已经非常大了,如果系统此时输出为 99 ,那么偏差就为 11,比例控制输出为 100100,对于PWM调节的话,占空比最大就是100$$%,很明显这是不符合实际应用的。当然控制器的输出我们可以不当做占空比直接使用,比如在单片机的PWM的配置过程中,令计数值为10001000才代表100$$%占空比,那么比例控制输出100100,对应PWM占空比也才10$$%,看上去很合理,也符合实际应用,这样一来,系统的调节时间就会变长,同样我们也可以理解为此时 KKp 还较小。所以比例控制一般不单独使用。
积分控制
上面我们研究了比例控制器,他不能消除稳态误差,所以需要设计新的控制器C(s)C(s),系统结构框图如下:
ss == 00
i 就是积分增益。我们来验证一下,还是拿前面的系统
p == 22 , KKi == 11,看看比例控制与积分控制的效果
更改系统框图
i 增加到 22,看看效果
引入微分控制
设一个二阶系统的一对根为 pp1 =−a+bi= – a + bi , pp2 =−a−bi= – a – bi,对该系统输入一个单位冲激信号,那么该系统的响应为
1== 00,2== −2-2,没有零点,渐近线交点a=$$-1,与实轴得交角为9090,根轨迹如下
i =2.9=2.9,看看效果
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